جواب کاردرکلاس صفحه 57 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 57 حسابان دوازدهم سلام! برای پیدا کردن **مجانب‌های قائم (Vertical Asymptotes)** یک تابع گویا، باید ریشه‌های **مخرج** را پیدا کنیم و مطمئن شویم که آن ریشه‌ها، ریشه‌های **صورت** نیز نباشند. اگر ریشه‌ای همزمان صورت و مخرج را صفر کند، باید ابهام $\frac{0}{0}$ را رفع کرده و حد را بررسی کنیم. 🚀 --- ### 1. تجزیه صورت و مخرج ابتدا صورت و مخرج کسر را تجزیه می‌کنیم تا ریشه‌های مشترک را شناسایی کنیم. #### الف) تجزیه صورت (Numerator) $$N(x) = x^2 - 3x + 2$$ ریشه‌ها اعدادی هستند که ضربشان 2 و جمعشان 3 باشد (1 و 2): $$N(x) = (x - 1)(x - 2)$$ #### ب) تجزیه مخرج (Denominator) $$D(x) = x^2 - x - 6$$ ریشه‌ها اعدادی هستند که ضربشان $-6$ و جمعشان $1$ باشد ($3$ و $-2$): $$D(x) = (x - 3)(x + 2)$$ ### 2. بازنویسی تابع $$f(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)}$$ ### 3. یافتن ریشه‌های مخرج ریشه‌های مخرج، مقادیری هستند که مخرج را صفر می‌کنند (نقاط مشکوک به مجانب قائم): $$x^2 - x - 6 = 0 \implies (x - 3)(x + 2) = 0$$ * ریشه اول: $x = 3$ * ریشه دوم: $x = -2$ ### 4. بررسی مجانب بودن ریشه‌ها یک خط عمودی $x = a$ زمانی مجانب قائم است که $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ باشد (یعنی $a$ فقط مخرج را صفر کند و نه صورت را). #### الف) بررسی $x = 3$ $x = 3$ را در صورت جایگزین می‌کنیم: $$N(3) = (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$$ چون $N(3) \neq 0$ است، در این نقطه حالت $\frac{L}{0}$ خواهیم داشت که منجر به حد نامتناهی می‌شود. $$\lim_{x \to 3} f(x) = \frac{2}{0} = \pm \infty$$ **نتیجه:** $\mathbf{x = 3}$ یک مجانب قائم است. #### ب) بررسی $x = -2$ $x = -2$ را در صورت جایگزین می‌کنیم: $$N(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$$ چون $N(-2) \neq 0$ است، در این نقطه نیز حالت $\frac{L}{0}$ خواهیم داشت. $$\lim_{x \to -2} f(x) = \frac{12}{0} = \pm \infty$$ **نتیجه:** $\mathbf{x = -2}$ نیز یک مجانب قائم است. --- ### نتیجه‌گیری نهایی تابع $f(x)$ دارای **دو مجانب قائم** است که معادلات آن‌ها عبارتند از: $$\mathbf{x = 3} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = -2}$$